Актер родился в Москве в 1932 года. В 1957 году поступил в Щукинское училище. В кино первые роли сыграл еще в начале шестидесятых годов. Александр Белявский играет в лентах «Иоланта», «Это случилось в милиции» Владимира Гориккера, а также в известном фильме «Их знали только в лицо». Последний фильм посмотрело более сорока миллионов зрителей, отчего он находится среди сотни самых популярных кинофильмов в истории советского кино.

В 2003- году у Александра Белявского случился инсульт, в результате это сказалось на его речи. С течением времени состояние здоровья актера значительно ухудшалось. Александра Борисовича погиб, выпавши из окна квартиры на пятом этаже. Согласно одной из версий, о себе дало знать больное сердце, и это послужило причинами трагической случайности.